top of page

No.5 

香川県2022年度（大問5.(2)）

2022kagawa5.3.jpg

[問題概要]

左図で，

  • 中心をOとする半円

  • 線分ADは∠BACの二等分線

  • DからABに垂線DGを引く

  • DFとBCの交点をGとする

  • ODとBCの交点をHとする

(1) △ACD∽△AEBを証明せよ

(2) △OFG≡△OHGを証明せよ

（解答方針）

△OFGと△OHGはともに直角三角形です。∠OFGと∠OHGが直角であること，斜辺OGを共有していること，あとは1組の辺または1組の鋭角の一致を示せれば終了です。

方針はこのように単純です。しかし，この問題は解答筋の見通しがあまり明瞭でなく，さらに意外と手数がかかるため記述量も増えます。配点を考慮すれば，途中まで書いて部分点をとるか，場合によっては白紙でも構いません。いずれにせよ，合否を分ける重要問題ではなかったようです。

 

また，本問は△OFGと△OHGの合同を証明するために，先に別の三角形同士の合同を示す必要がある点で難問です。このような多段型の証明問題では，構造をとらえて思考を整理しないと、混乱して記述が破綻するため注意です。

（解答例）

△OFGと△OHGにおいて，OGは共通の辺……①

次に，∠OFG＝90°（仮定）

ここで，OB＝OC（円の半径）だから，△OBCは二等辺三角形である。

∠COD＝∠BOD（仮定より∠BAD＝∠CAD）より，二等辺三角形の頂角の二等分線は，底辺の垂直二等分線と一致する。（←よく使う言い回しは定型文として暗記しておくと正確＆楽です）

したがって，∠OHG＝90°

以上から，∠OFG＝∠OHG＝90°……②（←「どの式に番号をつければよいかわからない」という質問を毎年大量に受けます。式番号は，答案の後半でもう一度呼び出す予定があるものにつけると整理できるのでオススメです。本問でいえば，最後に直角三角形の合同を述べるため，合同条件の３点を表す式に番号をつければよいことになります）

 

ところで，△ODFと△OBHにおいて，OD＝OB（円の半径）。∠OFD＝∠OHB＝90°。∠ODF＝90°－∠DOB，∠OBH＝90°－∠DOBより∠ODF＝∠OBH。直角三角形において，斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので，△ODF≡△OBH。

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，OF＝OH……③

​

よって，①－③より斜辺とその他の一辺が等しいので，△OFG≡△OHG

bottom of page